Welches ist das grösstmögliche FAI-Dreieck der Schweiz?

Massendaten von Gleitschirmpiloten als Messinstrument: ein übertragbares Karten-Modell grosser Alpen-Streckenflüge

Arbeitsentwurf v7.0 (jede Zahl aus nachrechenbarer Kette) · 20. August 2026 · Projekt dykstra-flights

1  Einleitung und Situation

1.1  Ausgangslage

Grosse Gleitschirm-Dreiecke von 250 bis über 300 Kilometern gehören zu den Grenzleistungen des Streckenflugs: Sie gelingen wenigen Piloten an wenigen Tagen des Jahres und verlangen, dass Startzeitpunkt, Routenwahl und Höhenhaushalt über zehn und mehr Stunden nahezu fehlerfrei zusammenspielen. Welche physikalischen Gegebenheiten solche Flüge tragen – wo und wann Aufwinde entstehen, wie schnell in ihnen gestiegen wird, wie viel Höhe zwischen ihnen verloren geht – ist in Teilaspekten bekannt, aber nicht als überprüfbares, quantitatives Gesamtmodell formuliert.

1.2  Verwandte Arbeiten

Vier Stränge sind einschlägig. (a) Konvektionsforschung: Für die unstabile Grenzschicht ist etabliert, dass typische Aufwindgeschwindigkeiten mit der dritten Wurzel des Wärmeeintrags skalieren (konvektive Geschwindigkeitsskala nach Deardorff, 1970); ebenso der Tagesgang der Grenzschichthöhe (Stull, 1988). (b) Segelflugtheorie: Die Reisegeschwindigkeit als Bilanz aus Kurbeln und Gleiten und die daraus folgende Sollfahrt gehen auf MacCready (1958) zurück. (c) Massendaten im Flugsport: Dass Flugspuren als atmosphärische Sensoren taugen, ist mehrfach gezeigt: Thermik-Wahrscheinlichkeitskarten aus Millionen Gleitschirm-Flugspuren (von Känel, 2010; von Känel, Sommer und Wattenhofer, 2011 – die Grundlage des hier verwendeten Datensatzes thermal.kk7.ch), Verifikation von Thermikprognosen mit Segelflug-Wettbewerbsdaten (Liechti et al., 2007), Windmessung aus dem Thermikkreisen von Vögeln (Weinzierl et al., 2016), GPS-Vergleiche der Kreisstrategien von Vögeln und Gleitschirmpiloten (Ákos, Nagy und Vicsek, 2008; Ákos et al., 2010) und jüngst die Identifikation von Thermik-Prädiktoren aus 1.5 Millionen Steigphasen über Frankreich (arXiv:2608.00241, 2026). (d) Streckenflug-Optimierung: Die Sollfahrttheorie wurde auf unsichere Thermik und begrenzte Höhe erweitert (Cochrane, 1999), das Standardwerk der Streckenflugtaktik ist Reichmann (1993); Kürzeste-Wege-Verfahren auf Rasterkarten (Dijkstra, 1959) sind Standard. Die Lücke: Kein publiziertes Modell sagt die Tageszeit-Struktur eines konkreten grossen Streckenflugs voraus, dessen sämtliche Konstanten aus Messungen stammen und dessen Karte allein aus dem Gelände gerechnet ist.

1.3  Beitrag

Diese Arbeit zeigt: (i) Die Massendaten des Flugsports taugen als Messinstrument für die konvektive Atmosphäre – sie liefern Steigraten, Gleitverluste, Aufwindorte, Zeitstruktur der Quellen und sogar den Wind. (ii) Das Hauptprodukt ist eine allein aus Gelände, Sonnenstand und Luftraum gerechnete Karte mit gemessenen Passage-Werten je Flächenart; zusammen mit wenigen Fortschreibungsgleichungen reproduziert sie reale Grenzleistungsflüge an starken Tagen auf Bruchteile einer Stunde – und sie ist übertragbar, weil kein Ortswissen der Flugdaten in ihr steckt. (iii) Der Verzicht auf dieses Ortswissen kostet messbar fast nichts: Das Modell mit der Reisekarte ist im Mittel gleich genau wie das Modell mit der aus 26 Jahren gemessenen Kurbelkarte. (iv) Das Fehlerbild an mässigen Tagen isoliert die fehlende Physik (Tagesstärke) als klar umrissene Grösse und vermisst sie erstmals. (v) Jede Zahl der Arbeit ist über offengelegte Skripte aus den Rohquellen nachrechenbar, und diese Nachrechenbarkeit ist Teil der Methode: Was eine unabhängige Nachrechnung nicht übersteht, steht nicht im Text (Abschnitt 7.5).

2  Fragestellung

Hauptfrage: Lässt sich allein aus dem Gelände – geeicht mit den Flugdaten vieler Piloten, aber ohne deren Ortswissen – eine Karte herstellen, die für starke Tage die Durchschnittswerte für die Passage der drei Flächenarten enthält – Kurbelzonen, Zonen gehobener Luft, neutrale Zonen: Steigen, Nettoverlust und Tempo je Klasse –, so dass sich für jede beliebige Route, auch in flugdatenarmen Gebieten, einfach vorhersagen lässt, wie gut sie für den Streckenpiloten funktioniert? Teilfragen: (T1) Sind alle dafür nötigen Durchschnittswerte aus den Massendaten messbar? (T2) Wie genau ist die Vorhersage – geprüft daran, ob sie die Zeiten realer Grenzleistungsflüge trifft, Bein für Bein und frei durchgerechnet, ohne einen einzigen an den Prüfpiloten angepassten Wert? (T3) Was kostet der Verzicht auf das Ortswissen der Flugdaten – gemessen am Vergleich mit einem sonst identischen Modell, dessen Kurbelzonen direkt aus 26 Jahren Flugdaten stammen? (T4) Wo und warum bricht die Vorhersage, und was folgt daraus für die fehlende Physik?

3  Daten und Begriffssystem

3.1  Die Datensätze

Alle Datensätze mit Umfang, Zeitraum und Rolle zeigt Tabelle 1. Drei Eigenschaften der Hauptquelle sind für alles Weitere wichtig. Erstens: Jeder Datensatz-Eintrag ist ein Bart – ein zusammenhängender Kreisflug-Abschnitt eines Piloten – mit Ort und Zeit des Einstiegs, Ort und Höhe von Ein- und Ausstieg, Kreisdauer und Flugzugehörigkeit. Zweitens: Der Anbieter erkennt Bärte erst ab etwa einer Minute Kreisdauer; kürzeres Zentrieren fehlt (Erkennungsgrenze, vgl. Abschnitt 7.3). Drittens: Der Pilot ist das Messgerät – gemessen wird sein Steigen (Luftsteigen minus Eigensinken plus Zentrierkunst), und erfasst ist nur, wo geflogen wird.

Tabelle 1 – Datensätze. Die Prüfflüge gehen in keine Eichung ein; zur Restüberlappung des Prüfpiloten mit der anonymen Masse siehe Abschnitt 7.2.

Zur Orientierung durch alle Abbildungen legt Tabelle 2 das Begriffs- und Farbsystem fest. Die Arbeit unterscheidet Momente in Flugspuren (was in einem Flug gerade geschieht: kräftig kurbeln, im Gleiten steigen, sinken) von Orten auf der Karte (die Flächenarten rot/grün/hell). Beides beschreibt dasselbe Phänomen auf zwei Ebenen: Rote Flecken sind die Orte, für die die Geländeregel Kurbelthermik ausweist; grüne Bänder die Orte, für die sie tragende Luft ausweist. Die Wölbung ist keine dieser Flächenarten, sondern die zeitlose Geländegrösse, aus der beide Regeln gewonnen werden (Abschnitt 5.2).

Tabelle 2 – Begriffs- und Farbsystem aller Abbildungen dieser Arbeit.

3.2  Die Segmentierung: wie aus einem Flug Steigen und Gleiten wird

Jede Zahl dieser Arbeit beruht auf einer Zerlegung des Fluges in zwei Zustände: Kreisen im Aufwind und Gleiten dazwischen. Diese Zerlegung ist nicht eindeutig. Eine Flugspur ist eine lückenlose Folge von Punkten; wo ein Aufstieg beginnt und wo er endet, ist eine Festlegung, keine Beobachtung. Verschiedene Verfahren sind gebräuchlich – Erkennung über den Kurswinkel (Kreise zählen), über den zurückgelegten Netto-Versatz in einem Zeitfenster, oder über die geglättete Steigrate –, und sie liefern für dieselbe Spur verschiedene Bärte. Weil alle Konstanten dieser Arbeit aus einer solchen Zerlegung stammen, gehört sie offengelegt.

Die Zerlegung des Datenanbieters ist nicht dokumentiert. Sie liess sich aber zurückgewinnen: Von einem Piloten lagen 489 Flugspuren im Original vor, und über Zeitstempel und Ort liessen sich 302 davon in der Datenbank wiederfinden (Skript match_alle.py). Damit standen 302 Flüge mit bekannter Roh-Spur und bekannter fremder Zerlegung nebeneinander – genug, um die Regeln zu rekonstruieren und an unabhängigen Flügen zu prüfen.

Zwei Befunde. Erstens erkennt der Anbieter Aufstiege, nicht Kreise. Ein Detektor, der zusammenhängendes Steigen sucht, deckt die fremden Zeitfenster zu 91 % (mittlere zeitliche Überlappung); ein Kreisdetektor kommt auf 61 %. Das erklärt, warum die fremden Bärte länger sind: Ein Aufstieg beginnt, sobald der Pilot steigt – auch wenn er den ersten Kreis noch nicht geschlossen hat. Zweitens liegen die gespeicherten Ein- und Ausstiegspunkte nicht an den Rändern des Zeitfensters, sondern rund 25 Sekunden innerhalb. Legt man sie mit diesem Versatz auf die Spur, sinkt der Positionsfehler von 240 auf 91 Meter (etwa ein Kreisdurchmesser) und der Höhenfehler von 35 auf 15 Meter.

Der zweite Befund hat unmittelbare Folgen für die Werte. Denn ein Gleitstück ist definiert als Strecke vom Ausstiegs- zum nächsten Einstiegspunkt – und wenn diese Punkte im Aufstieg liegen, gehören die ersten und letzten Sekunden jedes Aufstiegs formal zum Gleiten. Dort wird gestiegen, und das schmeichelt der Gleitbilanz. Wie stark, zeigt Tabelle 3: Der Randversatz allein verschiebt den gemessenen Höhenverlust um mehr als ein Viertel.

Tabelle 3 – Dieselben 40 Flüge, dieselbe Aufstiegs-Erkennung, nur die Konvention für die Segment-Endpunkte variiert. Median über 1'000 bis 1'200 Gleitstücke je Zeile.

Was das für die Interpretation der Zahlen bedeutet. Der Höhenverlust von 54 Metern je Kilometer (5.7) entspricht einer Gleitzahl von 18 und wirkt für einen Gleitschirm hoch, dessen Kappe allein nur 8 bis 9 erreicht. Ein Teil dieses Unterschieds ist Physik – die Luft entlang guter Linien trägt, und gemessen werden nur Gleitstücke, die am nächsten Aufwind ankamen (5.7). Ein Teil ist aber Konvention: Weil die Segment-Endpunkte im Aufstieg liegen, enthält jedes Gleitstück an beiden Enden ein Stück Steigen. Die Zahl ist damit kein reiner Gleitwert, sondern der Netto-Verlust zwischen zwei so definierten Punkten – und genau so wird sie im Modell auch wieder verwendet, zusammen mit Steigraten aus derselben Zerlegung. Innerhalb dieser Konvention ist die Rechnung konsistent; verglichen werden dürfen die Werte nur mit Werten aus derselben Zerlegung.

Die Regeln, in Worten. Ein Aufstieg ist ein zusammenhängender Abschnitt, in dem die über 40 Sekunden geglättete Höhe schneller als 0.2 m/s steigt; Unterbrechungen bis 60 Sekunden werden überbrückt; er zählt ab 90 Sekunden Dauer und 150 Metern Gewinn; Ein- und Ausstiegspunkt werden 25 Sekunden innerhalb der Ränder abgelesen (Skript igc_zu_kk7.py). Diese Regeln wurden an 40 Flügen geeicht und danach unverändert auf 40 andere Flüge angewandt. Dort ergab sich: Höhenverlust 71.9 gegen 70.6 m/km des Anbieters, Steigrate 1.10 gegen 1.10 m/s, 29.1 gegen 28.2 Aufstiege je Flug. Die Zerlegung ist damit nicht nur dokumentiert, sondern nachweislich reproduzierbar – auch für Flüge, die in keiner fremden Datenbank stehen.

4  Zeitstruktur der Thermik und Wahl der Modellform

Bevor Konstanten gemessen werden, muss die Modellform begründet sein: Darf ein Modell Thermik als mittlere Steigrate je Ort und Stunde behandeln, statt einzelne Aufwinde zu simulieren? Anders gefragt: Wie lange hält Wissen über einen Aufwindort? Die Antwort liefert ein natürliches Experiment in den Daten: 17.0 Millionen Fälle, in denen zwei verschiedene Flüge am selben Tag dieselbe Thermikstelle nutzten (500-m-Zellen; Paare desselben Flugs sind ausgeschlossen; Skript takt_paare_v2.py). Für jeden Zeitabstand der beiden Piloten wird gemessen, wie ähnlich ihr Steigen war (Abbildung 1) – und an dieser einen Kurve entscheidet sich, ob die einfache Modellform zulässig ist.

Abbildung 1 – Die zentrale Messung des Abschnitts: Je mehr Zeit zwischen zwei Piloten an derselben Thermikstelle liegt, desto unähnlicher ist ihr Steigen. Die Kurve durch die Messpunkte ist die Summe zweier Zerfälle plus Sockel; was die beiden Anteile sind, klärt die Trennung nach Überlappung im Text. Blau gepunktet dieselbe Kurve ohne den kurzen Anteil.

Der Verlauf der Ähnlichkeit folgt

r(Δt) = A₁·e^−Δt/τ1 + A₂·e^−Δt/τ2 + c

In Worten: Die Ähnlichkeit r hängt vom Zeitabstand Δt ab und setzt sich aus einem schnell verlorenen Anteil (Gewicht A₁, Zeitskala τ₁), einem langsam verlorenen Anteil (Gewicht A₂, Zeitskala τ₂) und einem zeitlosen Sockel c zusammen. Die Anpassung an die Messpunkte (kleinste Quadrate, Skript takt_fit_v2.py) ergibt A₁ = 0.33, τ₁ = 2.1 Minuten, A₂ = 0.46, τ₂ = 3.1 Stunden, c = 0.01.

Was die zwei Zeitanteile wirklich sind, klärt eine Kontrollmessung. Von jedem Aufwind ist neben dem Einstieg auch die Dauer bekannt; die Paare lassen sich darum danach trennen, ob der Nachfolger einstieg, während der Vordermann noch kurbelte (geteilte Luft), oder erst nach dessen Ausstieg (Skript puls_pruefung.py). Das Ergebnis ist eindeutig: Bei geteilten Paaren fällt die Ähnlichkeit von 0.68 (1 Minute Abstand) auf 0.47 (9 Minuten); bei getrennten Paaren ist sie von Anfang an flach – 0.46 bei 3 Minuten, 0.47 bei 5 und bei 9 Minuten –, und die Gesamtkurve entsteht auf drei Nachkommastellen aus der Mischung der beiden Gruppen. Der kurze Anteil ist also keine Eigenschaft der Quelle, sondern der verschwindende Anteil geteilter Luft: Bei 3 Minuten Abstand kurbeln noch 83 % der Paare gleichzeitig, bei 15 Minuten noch 1 %; die Skala von 2.1 Minuten folgt aus der Dauer der Aufstiege, nicht aus einem Rhythmus der Quelle. Ein Pulsieren der Quelle lässt sich aus dieser Kurve nicht belegen: Wäre es messbar, müssten auch getrennte Paare bei kleinen Abständen ähnlicher sein als bei grossen, und das sind sie nicht. Der langsame Anteil dagegen ist Atmosphäre: der Zustand des Platzes an diesem Tag (Sonnenstand am Hang, Bodenerwärmung), und er fällt mit 3.1 Stunden – der Skala, auf der die Sonne weiterwandert.

Alle diese Zahlen sind Aussagen über Verteilungen, nie über den Einzelfall – einzelne Paare weichen stark ab, Spätere überholen Frühere. Am greifbarsten wird die Kurve als Chance, direkt gemessen (Skript chance_paare.py): Nennt man einen Aufstieg gut, wenn er über dem Median aller Aufstiege liegt, dann steigt der Nachfolger eines gut Steigenden mit 77 % Chance ebenfalls gut, solange er zu ihm in den noch laufenden Aufwind stösst; ist der Vordermann draussen, sind es 66 % – gleichgültig, ob seither 3 oder 60 Minuten vergangen sind; ohne jedes Signal sind es definitionsgemäss 50 %. Ein kreisender Pilot ist damit vor allem ein Quellen-Zeiger (+16 Prozentpunkte, hält Stunden) und nur für direkt Dazustossende auch ein Luft-Zeiger (+11 weitere, verschwindet mit der Überlappung).

Zweierlei ist dabei festzuhalten. Erstens misst alles hier den Piloten in der Luft, nicht die Luft selbst; auch das gegenseitige Zentrieren geteilter Aufwinde steckt in der 0.68 (Verzerrungen: 7.3). Zweitens ist ein Kurbelhalt eine einzige Ziehung aus der Verteilung des Platzes, nicht das Mittel mehrerer Blasen: In 2’338 Aufstiegen des Prüfpiloten (mindestens 4 Minuten und 200 m Gewinn) korreliert das Steigen der ersten Hälfte eines Aufstiegs mit der zweiten Hälfte desselben Aufstiegs mit r = 0.39, nachdem das Flugmittel abgezogen ist (Skript messung_blase.py) – ein Aufstieg behält sein Niveau, und die Schwankungen darum herum (das Zentrieren) sind nach etwa einer Minute unkorreliert. Die Verteilung, aus der gezogen wird, ist gemessen: mittags Median 1.56 m/s, Quartile 1.26–1.92, oberstes Zehntel ab 2.31; Streuung zu Mittel 0.31 (5.6).

Für die Modellform folgt daraus alles Nötige. Erstens: Unterhalb der Stunde gibt es kein planbares Wissen – wer nicht direkt zum noch Kurbelnden stösst, zieht aus der Verteilung des Platzes. Das Modell rechnet darum mit der mittleren Steigrate je Ort und Stunde. Der einzelne Halt streut damit um ±31 %; ein grosser Tag enthält aber rund 45 Halte, und über sie mittelt sich die Ziehung weg – 0.31/√45 ≈ 5 % der Kurbelzeit, etwa 11 Minuten –, was zu den Minuten-Fehlern der starken Tage passt (6.3). Zweitens: Der Platz-Anteil fällt mit 3.1 Stunden – darum werden die Karten im Ein-Stunden-Takt geführt: Innerhalb einer Stunde ändert sich wenig, feinere Schritte trügen keine planbare Information, gröbere verschenkten welche. Drittens: Dass Aufwindorte als ortsfeste Kartenzellen behandelt werden dürfen, belegt nicht diese Kurve, sondern der Geländebefund: Die Wölbung erklärt die Orte (5.2), und die zeitlose Geländeformel findet 79 % der gemessenen Kurbelzellen (5.5). Ob eine Quelle gleichmässig oder stossweise nachliefert, wird nicht aufgelöst; unterhalb der Stunde enthält das Modell nur Mittelwerte (Grenze, Abschnitt 7.4).

5  Die Karte und ihre Zahlen

Wir brauchen eine Karte, um das grösste FAI-Dreieck der Schweiz zu finden – eine Karte, die für jede Stelle und jede Stunde sagt, wo gestiegen werden kann, wo die Luft trägt und wo nur der Höhenvorrat zählt. Sie wird allein aus dem Gelände, dem Sonnenstand und den Luftraumgrenzen gerechnet – kein Ortswissen der Flugdaten geht in sie ein – und teilt das Gelände in drei Flächenarten: rote Flecken, wo gekurbelt wird; grüne Bänder, wo die Luft im Vorbeiflug trägt; helles Gelände (auf den Karten ohne Einfärbung), wo keines von beidem gilt (Abbildung 2). Wir nennen sie die Reisekarte. Aus den Massendaten stammen die Zahlen. Das Gleiten folgt dabei einem einzigen Gesetz – 55 km/h, 54 m Höhenverlust je Kilometer, auf jeder Flächenart (5.7) –; die Flächenarten unterscheiden sich allein darin, wo Höhe zu holen ist: Die Reisekarte sagt nicht, wo das Gleiten billiger ist, sondern wo das Steigen verfügbar ist. Tabelle 4 stellt sie voran. Im Folgenden zeigen wir, wie diese Karte generiert und geprüft wird: die Eichmenge (5.1); die Geländegrösse, aus der die Karte entsteht (5.2); die Regeln für rot (5.3) und grün (5.4); der Prüfstein aus 26 Jahren Flugdaten (5.5); die gemessenen Zahlen (5.6–5.9); die Rechnung (5.10) und das Prüfverfahren (5.11). Die vollständigen Auswahlketten (welche Flüge und Bärte in jede Messung eingehen, mit Fallzahlen je Filterstufe) stehen in Anhang B.

Abbildung 2 – Das Hauptprodukt: die Reisekarte, Nahaufnahme Wallis auf dem 93-m-Raster des Höhenmodells (die Karte ist für die ganzen Alpen gerechnet; Ausschnitt zur Lesbarkeit). Rote Flecken (Kurbelzonen) aus Wölbung mal Steilheit; dunkelgrün der zeitlose tragende Kern, hellgrün das Stunden-Band dazu (sonnenbeschienene grosse Flanken, hier beispielhaft Junitag 13 Uhr); helles Gelände ohne Einfärbung. Kein Ortswissen der Flugdaten geht in die Karte ein. Eine zoombare Fassung der ganzen Alpen mit Ortschaften, Flüssen und wählbaren Ebenen liegt als Datei bei (Anhang C).

Tabelle 4 – Wie die drei Flächenarten im Schnitt durchflogen werden. Der Höhenverlust beim Gleiten ist überall derselbe (54 m je Kilometer, 5.7), und auch das gemessene Durchflug-Tempo (Median von Bart-Einstieg zu Bart-Einstieg, gruppiert nach der Flächenart des Kurbelhalts; Skript durchflug_flaechen_v2.py) unterscheidet die Flächenarten kaum – sie unterscheiden sich allein im Zugriff auf Steigen. Alle Steigwerte für starke Tage, skaliert mit dem Tagesfaktor (5.8).

Was ein Kilometer kostet – Routen von Hand. Weil das Gleiten überall dasselbe Gesetz hat, ist die Handrechnung einfach: Die Zeit eines Wegstücks ist Strecke mal 65 Sekunden je Kilometer (das Gleiten bei 55 km/h) plus die verlorene Höhe (54 m je Kilometer) geteilt durch die Steigrate der Stunde (Tabelle 5). In Worten: Mittags (1.56 m/s) kostet jeder Kilometer 65 Sekunden Gleiten und 35 Sekunden Kurbeln – zusammen 100 Sekunden, also 36 km/h effektives Reisetempo, in welcher Flächenart auch immer, solange rote Flecken auf dem Weg liegen, in denen die Höhe geholt werden kann. Die Flächenarten entscheiden nicht über das Tempo, sondern über die Fliegbarkeit: Ein helles Wegstück verbraucht 54 m je Kilometer aus dem Vorrat, und dieser Vorrat muss ins Höhenfenster zwischen Boden und Decke (5.9) passen – 15 km Querung verlangen gut 800 m Vorrat.

Direkte Prüfung des zusammengesetzten Tempos. Für die schnellsten Piloten (5.1) wurde jeder Zyklus aus Kurbelhalt und anschliessendem Gleitstück einzeln vermessen (3’106 Zyklen, Ortsstunden 11–16, 40 stärkste Tage; Auswahlkette in Anhang B): Ein mittlerer Halt gewinnt 366 m in 4.6 Minuten, das mittlere Gleitstück misst 7 km, 38 % der Reisezeit vergehen im Kreisen. Das direkt gemessene effektive Tempo von Bart-Einstieg zu Bart-Einstieg liegt im Median bei 35 km/h (Quartile 26–43) – die zusammengesetzten 36 km/h treffen die unabhängige Messung.

Wie die Karte gebaut und geprüft wird: die Messungen im Einzelnen (5.1–5.11)

5.1  Die Grundlage: die stärksten Tage und die schnellsten Piloten

Alle Zahlen sollen für starke Tage und gutes Fliegen gelten. Darum werden zuerst zwei Auswahlen getroffen, beide rein aus den Daten. Die stärksten Tage: Ein Tag wird über fünf Kennzahlen bewertet – Stärke der Thermik, Höhe der Thermik, Windarmut, Fluganzahl, Flugstrecken. Der Wind kommt dabei aus den Daten selbst: Der Versatz zwischen Ein- und Ausstieg eines kreisenden Piloten, geteilt durch die Kreisdauer, ist die Drift der Luft; an den stärksten Tagen liegt sie um 1 m/s. Fluganzahl und Flugstrecken werden nur innerhalb des jeweiligen Kalenderjahres verglichen, weil der Sport über 26 Jahre stark gewachsen ist. Wert: die besten 40 von 1’714 bewertbaren Tagen bilden die Eichmenge (zur Kontrolle: die zwei Prüfflugtage von 2025 liegen auf Rang 70 und 85). Die schnellsten Piloten: Jeder Flug erhält sein Reisetempo – zurückgelegte Strecke von Bart zu Bart, geteilt durch die Flugzeit; es misst das wirkliche Vorankommen einschliesslich aller Kurbel- und Suchzeiten. Wert: das beste 1 % der Flüge an den 40 Tagen (Reisetempo ≥ 31.4 km/h, 201 Flüge); der Median aller qualifizierten Flüge liegt an diesen Tagen bei 18.5 km/h, über alle Tage bei 16.6 km/h.

5.2  Vom Gelände auf die Luft: die Wölbung

Am Anfang der Karte steht eine Frage, die an den Flugspuren gemessen wurde: Kann man vom Gelände auf die Luft darüber schliessen – und wenn ja, über welche Geländegrösse? Erst ihre Antwort erlaubt es, die Flächenarten aus dem Gelände statt aus den Flugdaten zu bestimmen.

Die Antwort liefert eine einzige Geländezahl: die Wölbung, also die Zellhöhe minus dem Mittel ihrer 2.5-Kilometer-Umgebung; positiv heisst erhaben – Rippen und Kuppen (Abbildung 3). Gemessen wird sie an den zwei Flächen, die die Karte später trennen muss: An den gemessenen Kurbelzellen aus 26 Jahren Flugdaten (5.5) liegt die Wölbung im Median bei +244 m; an den tragenden Stunden-Grün-Flächen bei −88 m. Die beiden Verteilungen trennen sich fast vollständig, ihr Schnitt liegt bei +145 m (Abbildung 4, Mitte: die Wölbungsleiter). Vom Gelände auf die Luft zu schliessen ist also möglich, und die Wölbung ist die tragende Grösse: Kräftiges Kurbeln entsteht über den am stärksten gewölbten Formen, tragende Luft an den grossen Wänden darunter. Daraus folgen die zwei Regeln der Karte (5.3 und 5.4), und der Prüfstein (5.5) misst, wie gut sie tragen: Die Formel findet 79 % der gemessenen Kurbelzellen. Nebenbei belegt der Befund, dass die Kurbelorte der Masse keine blosse Pilotengewohnheit sind: Wären sie es, dürfte eine reine Geländezahl die Flächen nicht trennen – sie tut es deutlich.

Abbildung 3 – Die 2.5-km-Wölbung als Karte (Übersicht Wallis–Gotthard und Nahaufnahme Goms/Aletsch, 93-m-Raster): ocker = aufgewölbtes Gelände (+120 bis +250 m über der 2.5-km-Umgebung), dunkelbraun = stark aufgewölbt (über +250 m). Die Wölbung ist eine zeitlose Geländeeigenschaft – sie ist keinem Tag und keiner Stunde zugeordnet und trägt bewusst eine eigene Farbgebung, damit keine Verwechslung mit den datums- und stundengebundenen rot/grünen Karten entsteht.

5.3  Die roten Flecken: Kurbelzonen aus der Geländeregel

Was sie sind: die Zellen, in denen das Modell kurbeln darf. Formel: Eine Zelle ist rot, wenn W · [Steilheit > 0.18] über der Schwelle liegt. In Worten: W ist die Wölbung der Zelle (5.2); die eckige Klammer ist 1 an Hängen mit mehr als 18 % Neigung und 0 im Flachen (Talböden und Hochplateaus können nicht rot werden, auch wenn sie gewölbt sind); die Schwelle ist so gesetzt, dass die roten Flecken 11.5 % der Fläche des Schweizer Eichfensters bedecken – denselben Anteil wie die gemessene Kurbelkarte (5.5) – und gilt dann alpenweit fest (Schwellenwert 157 m auf dem 93-m-Raster, 158 m auf dem Kartenraster). Dieser eine Flächenanteil ist die einzige Zahl, die aus den Kurbelorten der Masse in die Karte eingeht. Zeitverhalten: Die roten Flecken sind zeitlos; ihre Ergiebigkeit folgt der Stunde über die Steigkurve (5.6) und den Tagesfaktor (5.8). Das deckt sich mit der Messung: Die stundenweise gemessenen Kurbelkarten decken sich zwischen 9 und 17 Uhr zu 86 % – die Orte wandern über den Tag kaum, ihre Stärke schon.

Warum genau diese Formel: Sie wurde gegen eine Batterie von Geländemerkmalen geprüft (Abbildung 4): Die Wölbung auf der 2.5-km-Zoomstufe trennt das gemessene Rot vom Stunden-Grün am schärfsten; gröbere und feinere Zoomstufen und alle anderen Merkmale trennen schwächer (Zahlen in der Abbildung). Auf der Wölbungsleiter liegt der Verteilungsschnitt zwischen rot und grün bei +145 m (Median rote Zellen +244 m, grüne −88 m). Die Steilheit steht in der Formel nur als Torwächter (> 18 %), damit Talböden und Hochplateaus nicht rot werden können.

Abbildung 4 – Die Geländemerkmals-Prüfung . Links: Trennschärfe je Merkmal (gemessenes Rot gegen Stunden-Grün; 0.5 = nutzlos, 1 = perfekt). Mitte (die Wölbungsleiter), so zu lesen: Für jede Zelle wird ihre Wölbung abgelesen (waagrechte Achse: Meter über dem 2.5-km-Umgebungsmittel); die Kurven zeigen, wie häufig jeder Wölbungswert vorkommt – einmal für die gemessenen Kurbelzellen (rot, Median +244 m), einmal für das Stunden-Grün (grün, Median −88 m). Die beiden Kurven trennen sich fast vollständig; wo sie sich schneiden (+145 m, gestrichelt), wechselt die Mehrheit: Oberhalb ist eine Zelle mit grosser Wahrscheinlichkeit Kurbelzone. Rechts: Nachbau der gemessenen Kurbelkarte allein aus dem Gelände bei gleicher Fläche – die Formel Wölbung mal Steilheit findet 79 % der gemessenen roten Zellen (Zufall: 12 %).

5.4  Die grünen Bänder: wo die Luft trägt

Was sie sind: die Zellen, in denen die Luft im Vorbeiflug trägt und zur Not nachgestiegen werden kann, ohne dass dort verlässlich gekurbelt werden kann. Formel (alle Schwellen auf Flächenanteile im Schweizer Eichfenster geeicht, dann alpenweit fest): Der grüne Kern (zeitlos) verlangt drei Dinge zugleich: tief (weniger als 2’000 m über dem 5-km-Talboden), an einer Wand (das Gelände im Umkreis von 1.5 km ragt mehr als 473 m über die Zelle) und gewölbt (W > 0); er bedeckt 3.3 % des Eichfensters. Das Stunden-Grün ist der Kern plus jede Flankenzelle (Wand > 473 m und Zellhöhe über 1’200 m; 15.3 % Fläche), die zur betrachteten Stunde von der Sonne getroffen wird. Die Sonnenprüfung lautet F = max(0, cos θ) / sin ε, normiert auf Gebietsmittel 1; in Worten: θ ist der Winkel zwischen Sonnenrichtung und Hangnormale, ε die Sonnenhöhe, und F misst, wie viel Einstrahlung der geneigte Hang im Verhältnis zum Gebietsmittel erhält – eine Flanke zählt, wenn F > 1. Der Sonnenstand wird astronomisch je Datum und Stunde berechnet; über ihn ist die Karte datums- und stundengebunden. Das Stunden-Grün bedeckt an einem Junimittag rund 9 % der Fläche.

5.5  Der Prüfstein: die gemessene Karte der Kurbelorte

Aus den Massendaten lässt sich unabhängig von jeder Geländeregel messen, wo tatsächlich gekurbelt wird. Wie: Für ein Datum werden alle Bart-Einstiege aus dem Saisonfenster gesammelt (gleicher Tag im Jahr ± 21 Tage, alle 26 Jahrgänge), getrennt nach Ortsstunde, räumlich geglättet und durch die Gesamtzahl des Fensters geteilt – so zählt der Anteil der Einstiege je Zelle, und die wachsende Beteiligung neuerer Jahre kürzt sich heraus; Zellen über der Anteilsschwelle sind belegt (Abbildung 5). Diese gemessene Karte geht nicht in das Modell ein. Sie hat zwei Aufgaben: Sie liefert die eine Eichzahl der Geländeregel (Flächenanteil 11.5 %, 5.3), und sie ist der Schiedsrichter – an ihr wird gemessen, was der Verzicht auf das Ortswissen kostet.

Abbildung 5 – Der Prüfstein: die aus 26 Jahren Bart-Einstiegen gemessene Kurbelkarte (rot; Skript sonnenkarten2.py, 18.6. um 13 Uhr) mit dem Stunden-Grün, gleiche Darstellung wie Abbildung 2; unten Nahaufnahme Wallis. Diese Karte enthält das Ortswissen der Flugdaten und dient nur der Eichung des Flächenanteils und der Prüfung.

Der Vergleich: Die Geländeregel findet 79 % der gemessenen roten Zellen, wo Zufall 11.5 % fände (Abbildung 4, rechts). Rund ein Fünftel der gemessenen Kurbelorte widersteht also allen geprüften Geländemerkmalen. Zwei Deutungen sind möglich: fehlende ortsfeste Physik (etwa Talwindsysteme, deren Zusammenflüsse kein ruhendes Geländemerkmal sieht) – oder Gewohnheit der Piloten an beliebten Plätzen, also genau der Anteil, der nicht in eine übertragbare Karte gehört. Entschieden wird zwischen beiden an den Flugzeiten: Kapitel 6 prüft beide Karten im selben Modell gegeneinander. Das Ergebnis vorweg: Das fehlende Fünftel kostet fast keine Flugzeit – Aufwinde entlang einer Route sind redundant.

5.6  Die Steigkurve: wie schnell es nach oben geht

Was sie ist: die Steigrate, mit der das Modell in roten Flecken kurbelt, je Ortsstunde; eine zweite, tiefere Kurve gilt für das Nachsteigen in grünen Bändern. Gemessen wird sie an den tatsächlichen Kurbelorten der Masse, angewendet auf die roten Flecken der Geländeregel – das ist die Übertragungsannahme des Modells, und sie wird in Kapitel 6 geprüft. Wie sie bestimmt wird: Für jeden Bart ist die Steigrate Höhengewinn geteilt durch Kreisdauer – das über den ganzen Aufenthalt gemittelte Steigen des Piloten, genau die Grösse, die das Modell braucht. Ausgewertet werden die Bärte der schnellsten Piloten (5.1) an den 40 stärksten Tagen, je Ortsstunde; für die Kurbelkurve nur Reise-Bärte mit mindestens 300 m Gewinn, für die Nachsteig-Kurve alle Bärte. Wie gross sie ist: Mittags (12–15 Uhr) 1.56 m/s (95-%-Intervall [1.53, 1.60], 1’343 Reise-Bärte); das oberste Zehntel der Bärte erreicht 2.31 m/s. Der Tagesverlauf ist eine Hochebene von 12 bis 16 Uhr (Tabelle 5, Abbildung 6); das Frühjahr liegt mittags über dem Hochsommer (1.60 gegen 1.55 m/s). Ergänzende Messung fürs helle Gelände: Wo Piloten ausserhalb aller Karten-Flächen kurbeln, gelingt das mit 73 % der Nachsteig-Rate (stabil 0.68–0.78 über die Tagesstunden, bis 39’000 Bärte je Stunde) – mit dem ausgewiesenen Vorbehalt, dass nur gelungenes Kurbeln messbar ist. Zur Einordnung: Dauer-Steigraten deutlich über 2 m/s erreicht auch die Elite nur in einzelnen Bärten, nicht im Schnitt.

Ortsstunde	9*	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19*	20*
Kurbeln in roten Flecken [m/s]	0.90	1.32	1.32	1.47	1.58	1.61	1.52	1.50	1.37	1.23	1.00	0.80
Nachsteigen in grünen Bändern [m/s]	0.80	1.15	1.18	1.29	1.36	1.46	1.37	1.31	1.15	1.00	0.90	0.70

Tabelle 5 – Die Steigkurve (schnellste Piloten, 40 stärkste Tage; Skript steigkurve_v2.py, jede Zahl kettenverifiziert). * Randstunden mit weniger als 50 Bärten: dokumentierte Füllwerte des Modells, keine Messwerte.

Abbildung 6 – Steigraten: Tagesverlauf beider Kurven mit Werten (links), Verteilung der schnellsten Piloten mittags mit Median 1.56 und oberstem Zehntel ab 2.31 m/s (Mitte), Jahreszeiten (rechts).

5.7  Gleiten: ein einziges Gesetz

Was es ist: das Bodentempo und der Höhenverlust, mit denen das Modell zwischen den Aufwinden vorankommt. Wie gemessen: Jedes Paar aufeinanderfolgender Bärte eines Flugs bildet ein Gleitstück – vom Ausstieg des einen zum Einstieg des nächsten, mit bekannter Distanz, Zeit und Höhendifferenz; ausgewertet werden die Gleitstücke der schnellsten Piloten an den stärksten Tagen (2’887 Stücke von 2 bis 30 km, Skript gleitklassen_v2.py). Wie gross: Reisetempo 55.1 km/h [54.6, 55.7]; Höhenverlust 54 m je Kilometer [53, 56] – und zwar als ein einziges Gesetz für alle Flächenarten. Der Versuch, den Verlust nach Geländeklassen zu trennen, ist ein eigenes Ergebnis dieser Arbeit: Keiner von fünf dokumentierten Klassifikatoren (Wandnähe, Wölbung, Steilheit, Rot-Anteil, Höhe) trennt die Gleitstücke wesentlich – alle Klassenwerte liegen zwischen 44 und 58 m/km, und ein steil/flach-Split verbessert die Flugzeit-Vorhersage nicht. Eine scheinbar deutliche Trennung (45 gegen 86 m/km) entsteht nur als Artefakt bestimmter Klassengrenzen und kehrt sich unter der dokumentierten Karte um (Abschnitt 7.5).

Warum Gleitzahl 18 möglich ist: Ein Teil der Antwort steht schon in 3.2 – die Segment-Endpunkte liegen im Aufstieg, jedes Gleitstück enthält darum an beiden Enden ein Stück Steigen. Der Rest ist Physik: Der Schirm allein gleitet mit Gleitzahl 8 bis 9 – in ruhiger Luft verliert er bei 55 km/h 110 bis 130 m je Kilometer (Herstellerangaben). Gemessen sind 54. Also muss die Luft entlang dieser Linien im Mittel um rund 1 m/s gestiegen sein. Das ist kein Widerspruch, sondern die Natur der Messgrösse: Erstens sind es die gewählten Linien der besten 1 % an den stärksten Tagen – steigende Luft gibt es an solchen Tagen fast überall, auch über hellem Gelände, nur ist sie dort an keinen festen Ort gebunden; gute Piloten legen ihre Querung dorthin und dann, wenn es trägt. Zweitens zählen nur Gleitstücke, die beim nächsten Bart ankamen – wer die Querung verlor und landete, taucht nicht auf. Die 54 m/km sind darum ein Netto-Wert entlang gelungener Linien sehr guter Piloten, keine Schirmeigenschaft, und gelten nur für Routen dieser Art – genau solche erzeugt die Routenwahl (5.10).

Kontrolle am Prüfpiloten: In den zehn Prüfspuren, mit derselben Ausstieg-zu-Einstieg-Definition gemessen, verliert der Prüfpilot an seinen stärksten Tagen 53–57 m/km – er trifft den Elite-Wert –, an den mässigen Tagen aber 72–78 m/km (über alles 65). Über das ganze Fliegen gerechnet (alles Nicht-Kreisen, einschliesslich Suchen) sind es 70 m/km, Gleitzahl 14. Der Gleitverlust hängt also für den einzelnen Piloten an der Tagesstärke; für die Masse der besten Tages-Viertel ist er über die Tagesstärke-Fünftel dagegen flach (68–72 m/km) – die 54 sind eine Eigenschaft der schärfsten Auswahl. Für das Modell heisst das: An starken Tagen ist 54 der richtige Wert; an mässigen Tagen rechnet das Modell damit zu schnell – das ist die in 6.4 sichtbare Lücke, beziffert.

5.8  Der Tagesfaktor: das Wetter des konkreten Tages

Was er ist: die einzige Stelle, an der das Wetter des konkreten Tages eingeht; er skaliert beide Steigkurven. Formel: f(h) = ( E(h) / E_ref(h) )^1/3, begrenzt auf [0.5, 1.15]; unter 100 W/m² keine Thermik. In Worten: E(h) ist die gemessene Einstrahlung des Tages in der Stunde h (Bewölkung inbegriffen), E_ref(h) die eines wolkenarmen Hochsommertages; der Quotient sagt, welcher Anteil des Wärmeeintrags zur Verfügung steht, und die dritte Wurzel überträgt ihn auf Aufwindgeschwindigkeiten, wie es die Konvektionsforschung vorgibt (Abschnitt 1.2a): halbierte Heizleistung senkt das Steigen auf 79 %, nicht auf die Hälfte. Wie gross er ist: an den Prüftagen mittags 0.9 bis 1.05, an den Tagesrändern deutlich darunter. Status: hergeleitet, nicht angepasst; die Güteprüfung gegen gemessene Tages-Steigmediane steht aus und ist die grösste bekannte Lücke (Abschnitt 6.4).

5.9  Decke und Boden

Was sie sind: das Höhenfenster, in dem das Modell fliegt. Die Decke ist je Zelle das Minimum aus 4000 m und der legalen Luftraumgrenze minus 50 m Sicherheitsabstand; die Luftraumgrenze entsteht durch Rasterung der 3’513 Räume (Skript luftdecke2.py; ausserhalb der erfassten Räume gilt 4’600 m). Werte: 80 % der Zellen des Eichfensters haben Decken unter 4000 m; 13.2 % sind unfliegbar, weil ihr Boden + 150 m über der Decke liegt (die hohen Massive) – sie werden bei der Routenwahl gesperrt. Bekannte Vereinfachung: Die Deckenkarte ist statisch; tatsächlich sind militärisch genutzte Räume an Wochenenden und werktags ab etwa 17:15 Uhr inaktiv, und die legale Decke steigt dann regional auf bis zu ~4500 m. Da grosse Streckenflüge häufig genau dann stattfinden, ist die statische Decke für die Prüfflüge eher zu tief – das Modell wird tendenziell benachteiligt (eine zeitabhängige Deckenkarte steht aus, Abschnitt 9). Der Boden liegt bei Gelände + 150 m, begründet durch die gemessenen Einstiegshöhen der Masse (Median 159–250 m über Grund an windarmen Tagen).

5.10  Die Rechnung entlang einer Route

Das Modell erhält eine Route (Zellenpfad) und eine Startzeit. Für jedes Wegstück der Länge d [km] in Flächenart k zur Ortsstunde h werden Zeit t und Flughöhe z fortgeschrieben. Jede Gleichung wird einzeln erklärt; alle Konstanten stehen mit ihrem Herkunfts-Abschnitt in Tabelle 6.

Gleiten:  t ← t + d / v;   z ← z − d · 54 m.  In Worten: Ein Kilometer Strecke kostet die Zeit 1/v (bei 55 km/h also 65 Sekunden) und 54 m Höhe – das eine Gleitgesetz aus 5.7, in dem das mittlere Steigen der durchflogenen Luft bereits enthalten ist; es gilt auf jeder Flächenart.

Kurbeln (nur wenn die Zelle zur Stunde h rot ist und z < z_Ziel − 150 m):  t ← t + (z_Ziel − z) / ( s(h) · f(h) );  z ← z_Ziel.  In Worten: Fehlende Höhe wird in einem roten Flecken nachgeholt; die nötige Zeit ist die Höhendifferenz geteilt durch die Steigkurve s(h) (Tabelle 5) mal Tagesfaktor f(h) (5.8). Die 150-m-Totzone verhindert, dass für Kleinstbeträge angehalten wird.

Steigziel:  z_Ziel = min( z_max, L − 50 m, G_voraus + 500 m ).  In Worten: Gestiegen wird nie höher als die Obergrenze z_max = 4000 m (statisch; zur zeitabhängigen Erhöhung bei inaktiven Militärräumen siehe 5.9), nie in den Luftraum (L ist die legale Grenze der Zelle) und nie weiter als 500 m über das höchste Gelände der nächsten rund fünf Kilometer (G_voraus) – Höhe, die das kommende Gelände nicht verlangt, wäre verlorene Kurbelzeit.

Untergrenze:  z ≥ G + 150 m.  In Worten: Unter 150 m über Grund wird nicht weitergeflogen; droht die Unterschreitung, wird nachgestiegen – in grünen Bändern mit der Nachsteig-Kurve mal Tagesfaktor, in hellem Gelände mit dem gemessenen Faktor 0.73 davon (5.6). Damit enthält die Rechnung keine ungemessene Zahl mehr; jeder Notfall im hellen Gelände wird gezählt.

Routenwahl:  Kürzester-Weg-Verfahren über die Zellkosten c = 3600/21 + r_Klasse [s/km].  In Worten: Der Grundterm entspricht dem gemessenen Gleichgewichtstempo von 21 km/h, das alle Fortbewegungsarten der Masse im Mittel erreichen; r_Klasse ist eine Risikoprämie je Flächenart (Täler und helles Gelände teurer, unfliegbare Zellen und gesperrte Lufträume praktisch unendlich). Die Route folgt damit den Linien, für die die Netto-Gleitwerte aus 5.7 gemessen wurden.

Symbol	Name	Wert	Einheit	Abschnitt
v	Reisetempo im Gleiten	55.1	km/h	5.7
l	Höhenverlust (ein Gesetz, jede Flächenart)	54	m/km	5.7
s(h)	Steigkurve (Kurbeln in rot)	Tabelle 5	m/s	5.6
s alle(h)	Nachsteig-Kurve (grüne Bänder)	Tabelle 5	m/s	5.6
g hell	Not-Nachsteigen im hellen Gelände: Anteil der Nachsteig-Rate	0.73	–	5.6
f(h)	Tagesfaktor aus der Einstrahlung	(E/E ref)^(1/3)	–	5.8
E min	Einstrahlungsschwelle für Thermik	100	W/m²	5.8
z max	Steiggrenze (statisch)	4000	m	5.9
L	legale Luftraumgrenze je Zelle	Karte	m	5.9
G, G voraus	Gelände / Maximum der nächsten ~5 km	Karte	m	5.9

Tabelle 6 – Alle Konstanten der Rechnung mit Namen, Wert und Herkunfts-Abschnitt. Jede ist gemessen oder (z max, 150-m-Regeln, Voraus+500) eine dokumentierte Rechenregel; eine frei angepasste Zahl gibt es nicht.

5.11  Das Prüfverfahren

Geprüft wird an zehn Dreiecksflügen des Prüfpiloten (Auswahl: windarm, Druckdifferenz über den Alpenhauptkamm unter 3 hPa). Die Referenz des Piloten wird mit einer dokumentierten Regel aus der Flugspur gewonnen (Skript beine10_v2.py): Wendepunkte sind das Dreieck grössten Umfangs über der Spur; existiert dazu kein Schlusspaar innerhalb von 8 % des Umfangs, liegt eine Ecke auf einem Ausflug ohne Rückkehr und wird gesperrt; die vier Beine laufen vom Schlusspunkt über die drei Ecken zurück; der erreichte Schluss wird je Tag ausgewiesen. Das Modell erhält je Tag ausschliesslich: die vier Eckpunkte, die Startzeit am Morgen und die stündliche Einstrahlung des Tages. Zwei Prüfmodi: Bein für Bein – jedes Bein startet zur realen Wendepunktzeit; gemessen wird die Beindauer. Ketten-Test – nur die Morgen-Startzeit ist vorgegeben, das Modell fliegt den Tag frei durch; gemessen wird die Ankunftszeit am Schlusspunkt; Fehler dürfen sich aufsummieren. Abweichung = Modell minus Pilot.

6  Resultate

6.1  Messwerte

Tabelle 7 – Messwerte (jede Zeile über ein Skript aus den Rohquellen nachrechenbar). Intervalle: Bootstrap des Medians beziehungsweise angegebene Spannbreite über Definitionsvarianten.

6.2  Prüfung Bein für Bein – und der Doppeltest der beiden Karten

Beide Modelle sind identisch bis auf die Herkunft der roten Flecken: einmal Geländeregel (5.3), einmal gemessene Kurbelkarte (5.5); Routenwahl und Simulation wurden für beide vollständig getrennt gerechnet, alles über nachrechenbare Skriptketten. Das Ergebnis (Abbildung 7, Tabelle 8): mittlere Abweichung 1.11 h mit der Reisekarte, 1.05 h mit der gemessenen Karte – der Verzicht auf das Ortswissen der Flugdaten kostet im Mittel wenige Minuten pro Flugtag. Alle zehn Tage liegen innerhalb ±1.8 h; die drei stärksten Junitage und der August-Tag innerhalb ±0.9 h. Das Vorzeichen ist geordnet: An den starken Tagen leicht zu langsam bis passend, an den mässigen Frühjahrstagen durchweg zu schnell – das quantifizierte Tagesstärke-Bild aus 5.7 und 6.4.

Abbildung 7 – Oben: zehn Dreiecke, Bein für Bein, Pilot (blau) gegen das Modell mit der Reisekarte (orange). Unten: Tagessummen der vier Beine für Pilot (blau), Reisekarte (orange) und Prüfstein-Modell mit der gemessenen Kurbelkarte (grau); die Zahl über jeder Gruppe ist die Abweichung beider Modelle in Stunden.

Tabelle 8 – Der Doppeltest, Bein für Bein summiert je Tag: dasselbe Modell einmal mit der Reisekarte (ohne Ortswissen der Flugdaten), einmal mit der gemessenen Kurbelkarte. Pilot-Zeiten nach der Referenzregel 5.11. Abweichung = Modell minus Pilot.

Abbildung 8 – Zehn Dreiecke als Karte (Lauf mit der Reisekarte): reale Spur (blau), Modellpfad (schwarz), weisse Punkte mit Zahl je volle Stunde. Im ±9-km-Korridor die Flächen der Reisekarte, dargestellt wie in Abbildung 2: rote Flecken auf dem 93-m-Raster, dunkelgrün der zeitlose Kern, hellgrün das Stunden-Band der jeweiligen Durchflugstunde – genau die Flächen, die die Simulation benutzt; violett unfliegbare Zellen (Boden über Decke). Titelzeile: Modell- und Pilotenzeit.

6.3  Ketten-Test

Im Ketten-Test erhält das Modell nur die Morgen-Startzeit; die vier Beine laufen frei durch, Fehler dürfen sich aufsummieren (Skript kette_v2.py). Beide Karten liefern dasselbe Bild (Tabelle 9): mittlere Abweichung der Ankunftszeit 80 Minuten (Reisekarte) und 79 Minuten (gemessene Karte). An den drei stärksten Tagen liegt die Ankunft auf 3 bis 12 Minuten genau nach bis zu elf Flugstunden; die mässigen Frühjahrstage kommen ein bis zweieinhalb Stunden zu früh an – wieder die Tagesstärke.

Tabelle 9 – Ketten-Test: Ankunftszeit am Schlusspunkt bei frei durchlaufender Rechnung, beide Karten; D = Dreiecksumfang nach der Referenzregel. Obere Zeilen: die stärksten Tage.

6.4  Fehlerbild: die Tagesstärke, vermessen

Beide Karten zeigen dasselbe Fehlerbild – die verbleibende Abweichung hängt nicht an den Kurbelorten, sondern an der Tagesstärke: starke Tage auf Minuten bis eine Stunde genau, mässige Tage ein bis zweieinhalb Stunden zu schnell. Was dahinter steckt, ist vermessen: Über die Tagesstärke-Fünftel aller 1’735 bewertbaren Tage wächst die mittägliche Steigrate von 1.14 auf 1.39 m/s (Skript tagesstaerke_v2.py), und der Gleitverlust des Prüfpiloten steigt von 53–57 m/km an starken auf 72–78 m/km an mässigen Tagen (5.7). Der Tagesfaktor aus der Einstrahlung allein bildet beides nur teilweise ab. Was fehlt, ist ein Tagesstärke-Gesetz, das Steigkurve und Gleitverlust gemeinsam skaliert; seine Bausteine sind hiermit gemessen, die Formulierung und Prüfung stehen aus (Abschnitt 9) – ohne sie bleibt das Modell ein Modell der starken Tage.

8  Die Antwort: das grösstmögliche FAI-Dreieck der Schweiz

Damit ist alles beisammen, um die Titelfrage zu beantworten – und man darf die Antwort mit einem Augenzwinkern lesen: Das Modell kennt weder Ermüdung noch Blase noch die Versuchung, am schönsten Bart des Tages einfach sitzen zu bleiben; es fliegt mit den Durchschnittswerten der schnellsten Piloten und muss am Abend nicht selber landen. Als Schweizer Dreieck gilt, was die Wertung von xcontest verlangt: Die Route muss die Schweiz berühren – die Wendepunkte dürfen auch jenseits der Grenze liegen. Gesucht wurde über dem gesamten Alpenfenster (43–48.5° N, 5–17° O): 110 Drehkreuz-Orte in den dichtesten Kurbelregionen, alle FAI-tauglichen Dreiecke daraus (kürzestes Bein mindestens 28 % des Umfangs, Route berührt die Landesgrenze), jede Route auf dem Risiko-Wegenetz der Reisekarte verlegt und mit dem Modell dieses Papers durchgerechnet – Startort frei auf dem Umfang, Startzeit frei zwischen 8:30 und 12:00, Tag: ein starker Junitag (Skripte fai_basis3.py, fai_alles3.py; Landesgrenze: Natural Earth). Gesucht wurde in Stufen von 25 km Umfang: 200, 225, 250 und so fort bis 400 km; je Stufe zählt das schnellste fliegbare Dreieck.

Das Ergebnis (Abbildung 9): Das grösste fliegbare FAI-Dreieck misst 371 km und verbindet das Unterengadin (46.90° N, 10.17° O), die Bergamasker Alpen (45.97° N, 9.73° O) und die Innerschweiz am Urnersee (46.96° N, 8.59° O), im Uhrzeigersinn, mit Start und Ziel am Berninapass-Nordrand (46.43° N, 9.89° O). Das Modell startet um 09:00, landet um 19:56 und reist mit 33.9 km/h über 10.9 Stunden; die geflogene Linie misst 372 km. In der Stufe darüber (404 km Umfang) findet das Modell rechnerisch ebenfalls noch eine Lösung (32.5 km/h, Landung 21:26) – aber wer um 21:26 landet, hat den Sonnenuntergang schon eine Weile hinter sich; als Antwort auf die Titelfrage gilt darum das 371er. Die interaktive Kartenbeilage (Anhang C) enthält dieses Dreieck samt allen kleineren Grössenstufen und vier festen Startplätzen mit Zeitaufpreis-Ranking.

Warum nur 10.9 Stunden – der Junitag ist doch länger? Der Einwand liegt auf der Hand, und die Antwort steht im Modell: Es geht nicht der Tag aus, sondern das Steigen. Die gemessene Steigkurve trägt von etwa 9 bis 19 Uhr; danach liefert keine Fläche mehr planbare Höhe, und jede weitere Stunde ist nur noch Abgleiten aus dem letzten Vorrat. Genau das nutzt die 404er-Lösung: Sie hängt ans Ende des Klettertags noch einen langen Endanflug und landet 21:26 – mit entsprechend tieferem Schnitt. Das Optimum des 371ers legt seine Kilometer stattdessen vollständig in die tragenden Stunden. Und früher starten? Der Startzeit-Scan hat 8:30 geprüft und 09:00 gewählt: Ein früherer Start kauft nur schwache Morgenstunden ein (Steigkurve um 9 Uhr ≈ halbe Mittagskraft), die am Abend nichts zurückgeben. Mehr Tag ist da – aber kein nutzbarer.

Wie ernst darf man die 371 km nehmen? Statistisch geschätzt aus den zehn Prüftagen des freien Durchlaufs (6.3), deren Ankunftsfehler unabhängige Stichproben des Prognosefehlers sind (Skript genauigkeit_v2.py). Zuerst der ernüchternde Teil: Der Einstrahlungs-Tagesfaktor, das einzige Vorab-Wissen des Modells über den Tag, trennt die zehn Prüftage praktisch nicht (0.96 bis 1.01) – am Vorabend ist die wahre Tagesstärke nicht erkennbar (das quantifiziert die grösste Lücke des Modells, 6.4). Für einen Tag, der nach Einstrahlung stark aussieht, gilt darum das volle Vorhersageintervall aus allen zehn Fehlern: Mittel −68 Minuten, Streuung 71; das 95-%-Intervall für einen neuen Tag (t-Verteilung, n = 10) reicht von −236 bis +100 Minuten. In Kilometer bei 33.9 km/h: Die real erfliegbare Grösse liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit zwischen 238 und 428 km, im Mittel bei 333 – das Dreieck der Abbildung ist also die obere Hälfte des Möglichen, kein Erwartungswert. Erweist sich der Tag tatsächlich als stark (das weiss man erst im Flug), schrumpft der Fehler drastisch: An den drei Prüftagen mit den besten realisierten Leistungen lag er bei 3 bis 12 Minuten (2 bis 7 km), am vierten Junitag allerdings bei 93 Minuten – und unter ±6 km (dem Ziehungsrauschen der rund 45 Kurbelhalte, Abschnitt 4) kommt keine Prognose der Welt. Das Modell hat leicht reden, aber es legt seine Fehlerverteilung offen.

Abbildung 9 – Die Antwort auf die Titelfrage: das grösste vom Modell gefundene FAI-Dreieck (371 km, 33.9 km/h, Start 09:00, Landung 19:56 an einem starken Junitag), dargestellt in der interaktiven Kartenbeilage über der Landeskarte (swisstopo / geo.admin.ch): schwarz der vollständige Modellpfad, weisse Punkte die drei Wendepunkte Seelisberg am Urnersee – Fenga/Unterengadin – Val Brembana (Bergamasker Alpen), schwarzer Punkt Start und Ziel im Berninagebiet; rot die Kurbelzonen, grün der tragende Kern der Reisekarte.

9  Schluss und Ausblick

Die Antwort auf die Titelfrage zuerst: Das grösstmögliche FAI-Dreieck der Schweiz misst nach diesem Modell 371 km – Unterengadin, Bergamasker Alpen, Urnersee, mit 33.9 km/h an einem starken Junitag; real erfliegbar sind an einem nach Prognose starken Tag mit 95 % Wahrscheinlichkeit 238 bis 428 km, weil die wahre Tagesstärke am Vorabend nicht erkennbar ist (Kapitel 8).

Zu den vier Teilfragen aus Kapitel 2. T1 – sind alle nötigen Durchschnittswerte messbar? Ja, ohne Ausnahme; auch das Not-Nachsteigen im hellen Gelände ist gemessen (0.73 der Steigkurve), das Modell enthält keine gesetzte Zahl. T2 – wie genau ist die Vorhersage? An starken Tagen Bein-Genauigkeiten von Minuten bis Bruchteilen einer Stunde und Landezeiten im freien Durchlauf auf 3 bis 12 Minuten; über alle zehn Prüftage im Mittel 80 Minuten. T3 – was kostet der Verzicht auf das Ortswissen der Flugdaten? Fast nichts: Die Reisekarte ist im Mittel beinahe gleich genau wie die aus 26 Jahren gemessene Karte (1.11 gegen 1.05 h je Bein); das Modell ist damit auf flugdatenarme Gebiete übertragbar. T4 – wo bricht die Vorhersage? Geordnet mit sinkender Tagesstärke; genau dort liegt die fehlende Physik.

9.1  Was fehlt: die tragenden Passagen

Die Prüfung zeigt immer denselben Befund. Die Höhenbilanz trifft das Modell: Am 8. Mai 2026 gewinnt der Prüfpilot im Prüffenster 3090 m und verliert 3631 m, das Modell 3152 und 3704 – zwei Prozent Unterschied. Aber während er steigt, kommt er 24.4 km voran, das Modell 7.8 km; 36 gegen 15 km/h. Von den 20 km Rückstand am Fensterende entfallen 83 % auf die Steigphasen. Das Modell steigt richtig und kommt dabei nicht vom Fleck.

Der Grund ist ein Flugzustand, den das Modell nicht kennt. Zerlegt man 101 Flüge des Prüfpiloten – 759 Flugstunden – mit einer Segmentierung, die für jede Sekunde unterscheidet, ob gekreist wird und was die Höhe tut, so ergibt sich Tabelle 10.

Tabelle 10 – Fünf Flugzustände in 101 Flügen des Prüfpiloten (759 h, 22 623 km, 1 577 232 m Gewinn). „Vorankommen“ ist der Netto-Versatz je Zeit, nicht die Fahrt – beim Kreisen ist der Weg der Kreisumfang, das Vorankommen aber nur die Versetzung. Skript xc_segmente.py.

Abbildung 10 – Ein Flugtag in fünf Zuständen (22. Mai 2023, 10.6 h, 310 km). Blau: Steigen ohne Kreisen. An diesem Tag 21.2 % der Flugzeit, 79 km Strecke und 8 749 m – 37 % des ganzen Tagesgewinns ohne einen einzigen Kreis. Skript xc_tafel.py.

Ein Zehntel des Höhengewinns entsteht ohne Kreisen, und dabei wird ein Zehntel der Strecke zurückgelegt – fünfmal schneller als im Bart. Dazu kommt ein weiteres Neuntel der Strecke in tragender Luft, die den Piloten fast ohne Höhenverlust weiterträgt (−0.16 m/s). Beides zusammen sind 21 % der Strecke bei 40 km/h Vorankommen. Am stärksten Tag des Prüfpiloten steigt der Anteil auf 21.2 % der Zeit und 37 % des Tagesgewinns (Abbildung 10).

Diese Passagen entscheiden das Rennen, und das Modell hat sie nicht. Es kann sie auch nicht bekommen, solange nicht bekannt ist, wo sie liegen, wann am Tag sie tragen und warum sie entstehen. Das ist die offene Frage dieser Arbeit – nicht, wie stark ein Bart steigt, sondern wo die Luft so gut trägt, dass Kreisen unnötig wird oder das Sinken stark vermindert ist.

Aus der Datenbank, auf der diese Arbeit beruht, lässt sich das nicht beantworten. Sie enthält nur die Aufstiege: 40 % der Flugzeit, 90 % des Höhengewinns – aber 11 % der Strecke. Die 89 % der Strecke, auf denen Streckenflug stattfindet, kommen darin nicht vor. Und das Wenige, das sich indirekt erschliessen liesse, bleibt verdeckt. Eine grobe Regel lässt sich auf beide Seiten anwenden: Ein Aufstieg gilt als gerade, wenn die Versetzung zwischen Ein- und Ausstieg über 25 km/h liegt. Diese Schwelle ist kein Standard, sondern hier geeicht – auf sekundenweise segmentierten Spuren liegen die Kreisstiege bei 9.2 km/h und die Geradeausstiege bei 38.4 km/h, und der Schnitt erkennt 98 % der Geradeausstiege und hält 3 % der Kreisstiege fälschlich dafür (Skript kk7_geradeaus.py). Auf die Datenbank angewandt erscheinen damit 2.26 % der 6.17 Mio Aufstiege als geradeaus; auf die 9 503 Aufstiege des Prüfpiloten angewandt 24.6 %. Der Unterschied liegt nicht im Fliegen, sondern in der Zerlegung: Was nicht als eigener Aufstieg abgegrenzt wird, kann auch nicht als gerader Aufstieg erscheinen.

Daraus ergibt sich die Reihenfolge der weiteren Arbeit. Erstens eine Segmentierung, die alle fünf Zustände sieht und je Bart den Wind aus der Kreisdrift misst; sie liegt vor und ist geprüft – ein Flug wird zu einer Textzeile von rund 4 kB, aus der sich die Spur auf 23 m in der Höhe und 90 m im Ort zurückgewinnen lässt (Skript xc_segmente.py, Rechenzeit 3 ms je Flugstunde). Zweitens ein Spurenbestand, der Fläche misst statt einer Linie: Eine einzelne Spur zeigt, dass die tragende Linie da war, nicht wie breit sie war. Dafür braucht es viele Piloten am selben Tag am selben Ort. Drittens daraus die Karte der Orte, an denen geradeaus gestiegen wird und an denen die Luft trägt, mit Tagesgang – und eine Regel, die diese Orte an Gelände und Wetter bindet, so wie Kapitel 5 es für die Kurbelorte tut. Viertens erst dann der fehlende Zustand im Modell; vorher wäre jede Zahl dafür gesetzt und nicht gemessen.

Die übrigen Verfeinerungen – ein Tagesstärke-Gesetz, das Steigkurve und Gleitverlust gemeinsam skaliert (6.4), ein Härtetest an unberührten Prüftagen und Prüfpiloten, eine Startzeit-Regel aus den Massendaten, die freie Routenwahl und eine zeitabhängige Deckenkarte – bleiben offen. Sie verbessern ein Modell, dem der entscheidende Zustand fehlt; sie ersetzen ihn nicht.